2021年天津市高考数学模拟试卷(解析版)

一.选择题(共 9 小题). 1.体育节到来,多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合 U={甲班全体同学},集合

A={参加跳高的甲班同学},集合 B={参加跳远的甲班同学},则∁U(A∩B)表示的是 () A.既参加跳高又参加跳远的甲班同学 B.既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学 C.参加跳高或跳远的甲班同学 D.不同时参加跳高和跳远的甲班同学

2.“函数 在(0,∞)上是减函数”是“函数 y=kx 在 R 上是增函数”的( )

4.某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比,抽取 100 个

相同规模的大棚,统计各大棚的产量单位:百千克),其频率分布直方图如图,据此以

A.采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化 B.采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高 C.采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了 D.新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大 5.一直三棱柱的每条棱长都是 2,且每个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为( )

6.已知椭圆的两焦点 F1,F2 和双曲线的两焦点重合,点 P 为椭圆和双曲线的一个交点,且

7.已知函数 f(x)=sin(ωxφ)(ω>0,φ< ),其图象相邻两条对称轴之间的距离

为 ,且函数 f(x )是偶函数,下列判断正确的是( ) A.函数 f(x)的最小正周期为 2π B.函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.试题中包含两个空的,答对 1 个的

10.已知复数 z= (a﹣1)i 的虚部为零,i 为虚数单位,则实数 a=

12.已知圆 C:(x﹣1)2(y﹣2)2=9,圆 C 以(﹣1,3)为中点的弦所在直线的斜率 k

13.由 1,2,3,…,1000 这个 1000 正整数构成集合 A,先从集合 A 中随机取一个数 a,

15.设向量 , 不平行,若向量 λ 与 ﹣2 平行,则实数 λ 的值为

三.解答题:本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且 PA=PB=2,若点 E,F 分别为 AB 和 CD 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABCD⊥平面 PEF;

(Ⅱ)若二面角 P﹣AB﹣C 的平面角的余弦值为 ,求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

b 所围成的区域面积为 4 . (1)求 C 的方程; (2)设过 D(0,3)的直线 l 与 C 交于不同的两点 A,B,设弦 AB 的中点为 M,且OM

20.已知函数 f(x)=x3x2﹣ax(a∈R),g(x)=xlnx. (1)求曲线 处的切线,a],f(x)>g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 x∈(0,a]时,试求方程 f(x)=g(x)的根的个数.

一.选择题(共 9 小题). 1.体育节到来,多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合 U={甲班全体同学},集合

A={参加跳高的甲班同学},集合 B={参加跳远的甲班同学},则∁U(A∩B)表示的是 () A.既参加跳高又参加跳远的甲班同学 B.既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学 C.参加跳高或跳远的甲班同学 D.不同时参加跳高和跳远的甲班同学 解:集合 U={甲班全体同学},集合 A={参加跳高的甲班同学},集合 B={参加跳远的 甲班同学}, 则∁U(A∩B)表示的是不同时参加跳高和跳远的甲班同学, 故选:D.

2.“函数 在(0,∞)上是减函数”是“函数 y=kx 在 R 上是增函数”的( )

∴k>0, ∴函数 y=kx 在 R 上是增函数, 故是充分条件; 若函数 y=kx 在 R 上是增函数, 则:k>0;

f(﹣x)=sinx(﹣x)ln(e﹣xex)=﹣sinxln(exe﹣x)=﹣f(x), ∴函数 f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除 D,

当 x∈[0,π)时,sinx≥0,当 x∈[π,2π)时,sinx≤0,

∴当 x∈[0,π)时,f(x)>0,当 x∈[π,2π)时,f(x)≤0,故排除 AB,

4.某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比,抽取 100 个

相同规模的大棚,统计各大棚的产量单位:百千克),其频率分布直方图如图,据此以

A.采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化 B.采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高 C.采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了 D.新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大 解:由频率分布直方图得: 在 A 中,采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化,故 A 正确; 在 B 中,采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高,故 B 正确; 在 C 中,采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了,故 C 正确; 在 D 中,新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响较大,故 D 错误. 故选:D. 5.一直三棱柱的每条棱长都是 2,且每个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为( )

解:正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心,球心与顶点的连线长就是 半径,

故选:A. 6.已知椭圆的两焦点 F1,F2 和双曲线的两焦点重合,点 P 为椭圆和双曲线的一个交点,且

解:不妨设椭圆方程为 =1(a>b>0),双曲线=t,P 为第一象限的交点, 由椭圆和双曲线m, 解得 s=am,t=a﹣m,

故选:A. 7.已知函数 f(x)=sin(ωxφ)(ω>0,φ< ),其图象相邻两条对称轴之间的距离

为 ,且函数 f(x )是偶函数,下列判断正确的是( ) A.函数 f(x)的最小正周期为 2π B.函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称 C.函数 f(x)在[ ,π]上单调递增 D.函数 f(x)的图象关于直线 x=﹣ 对称

解:函数 f(x)=sin(ωxφ)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 , ∴函数 f(x)的周期 T=π,故 A 错误; ∵ω>0 ∴ω=2, ∴函数 f(x )的解析式为:f(x)=sin[2(x )φ]=sin(2x φ),

所以若要存在实数 k,使得关于 x 的方程 f(x)﹣k=0 恰有三个不同的实数根,

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.试题中包含两个空的,答对 1 个的

10.已知复数 z= (a﹣1)i 的虚部为零,i 为虚数单位,则实数 a=

所以展开式中的常数项为(﹣2)2C82=112. 故答案为:112. 12.已知圆 C:(x﹣1)2(y﹣2)2=9,圆 C 以(﹣1,3)为中点的弦所在直线. 解:根据题意,圆 C:(x﹣1)2(y﹣2)2=9,其圆心 C(1,2), 设 P(﹣1,3),要求斜率的弦所在的直线为 l, 若要求弦以 P(﹣1,3)为中点,则 CP⊥l,

=﹣ ,则直线 这个 1000 正整数构成集合 A,先从集合 A 中随机取一个数 a,

解:由 1,2,3,…,1000 这个 1000 正整数构成集合 A,先从集合 A 中随机取一个数 a, 取出后把 a 放回集合 A,然后再从集合 A 中随机取出一个数 b,

15.设向量 , 不平行,若向量 λ 与 ﹣2 平行,则实数 λ 的值为 ﹣ .

故答案为: . 三.解答题:本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16.在△ABC 中,AC=6,cosB= ,C= .

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且 PA=PB=2,若点 E,F 分别为 AB 和 CD 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABCD⊥平面 PEF;

(Ⅱ)若二面角 P﹣AB﹣C 的平面角的余弦值为 ,求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

解:(Ⅰ)∵PA=PB,∴AB⊥PE. 而 AB⊥EF,所以 AB⊥平面 PEF,又 AB⊂平面 PEF, 所以平面 ABCD⊥平面 PEF. (Ⅱ)结合(Ⅰ)可知,∠PEF 即为二面角 P﹣AB﹣C 的平面角.

(2)设过 D(0,3)的直线 l 与 C 交于不同的两点 A,B,设弦 AB 的中点为 M,且OM = AB(O 为原点),求直线 l 的方程. 解:(1)由题意,可知 c= ,4ab=4 ,则

∴椭圆 C 的方程为 y2=1. (2)由题意,当斜率不存在时,点 M 即为 O 点,不满足OM= AB, 故斜率存在,设斜率为 k,则直线),

20.已知函数 f(x)=x3x2﹣ax(a∈R),g(x)=xlnx. (1)求曲线 处的切线,a],f(x)>g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 x∈(0,a]时,试求方程 f(x)=g(x)的根的个数. 解:(1)∵g(x)=xlnx,则 g(x) 的定义域为 (0,∞), ∴g′(x)=lnx1,∴g′(1)=1, ∵g(1)=0,则切点为 (1,0), 曲线,a],f(x)>g(x) 恒成立, 对任意 x∈(0,a],x2x﹣a>lnx 恒成立, 即 x2x﹣lnx﹣a>0 恒成立, 令 φ(x)=x2x﹣lnx﹣a,x∈(0,a],

φ(e﹣a)=e﹣2ae﹣a>0, 根据零点存在性定理,φ(x) 在

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